LFP是神经元周围细胞外基质中的电位变化，具有较高的时间和空间分辨率，可用于研究群体神经活动的时空特征，特别是在大脑的协同工作机制方面。这一期我们就时频和频域转换方法、频域分析、时频分析做详细讨论。另外在文末简要介绍其他两种提取LFP有效信息的方法（电流源密度和经验模态分解）。
时域和频域转换方法LFP信号具有周期性和非周期性的特性，周期性振荡与许多生理、认知、行为和疾病状态有关，其中不同的振荡频率波段与不同的脑功能和状态相关。在时域中，电生理信号通常表现为复杂的波形，难以直接从波形中提取有用的信息，通过将时域信号转换到频域，我们可以分解出不同频率周期性振荡的振幅和相位，从而更容易识别和分析信号中的特征，将时域信号转换为频域信号除了能有效识别周期性成分、揭示信号特征，还可以应用于信号噪声去除（一如处理中提到了电磁噪声去除）、数据压缩和特征提取。通过应用非参数（傅里叶变换、小波变换和希尔伯特变换）或参数技术（自回归模型），可以实现向频域的变换。
01
傅里叶变换
基本原理：
傅里叶变换(Fourier Transform)将信号分解为一系列正弦波和余弦波的叠加。更确切地说，是将信号分解为一组复指数函数（即复数形式的正弦波和余弦波）的线性组合。这是因为复数表示可以简化数学操作，使得分析更加方便。
公式：
对于一个连续信号 f(t)，其傅里叶变换 F(ω)可以表示为：
e−iωt是一个复数指数函数，表示为欧拉公式中的正弦波和余弦波的组合：
通过傅里叶变换，信号 f(t)被分解为不同频率 ω的正弦波和余弦波的组合。反变换（即逆傅里叶变换）将频域信号 F(ω)转换回时域信号 f(t)，公式为：
这同样利用了复数指数函数的性质。通过这种方式，傅里叶变换不仅分解了信号的幅度，还分解了相位信息，使得我们能够完整地描述信号的频率特性。如下左图所示，合成信号是由50Hz和120Hz的正弦波叠加而成；中图所示为时域信号；右图所示为频域信号，包括频率和赋值信息。
常用的傅里叶变换方法及适用范围：
(1) 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)：适用于离散信号，可以精确地计算信号的频谱。对于大规模数据计算量较大。适用于需要精确频谱分析的场景，尤其是数据量较小的情况。
(2) 快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT)：快速傅里叶变换是一种高效计算离散傅里叶变换 (DFT) 的算法，通过分治法将计算复杂度降低。大大降低了计算时间，使得频谱分析在大规模数据上变得可行。依赖于信号长度，FFT算法最有效的情况是信号长度为2的幂次方。
(3) 短时傅里叶变换 (Short-Time Fourier Transform, STFT)：将信号分割成多个短的时间窗口，对每个时间窗口进行傅里叶变换，从而得到信号的时频表示，这种方法能够同时提供时间和频率信息，适用于分析非平稳信号。窗口长度的选择会影响时间和频率分辨率，无法同时达到高时间和高频率分辨率，需要时间-频率分辨率权衡。相比单一的DFT或FFT，STFT需要对每个时间窗口进行FFT计算，因此计算量较大。
02
小波变换
基本原理：
小波变换(Wavelet Transform)是一种时间-频率分析方法，通过不同尺度的小波函数来分析信号。核心思想是利用尺度和平移参数来调整母小波函数，生成不同频率和时域位置的小波基函数，通过分析这些基函数的响应来理解信号的时频特性。这种方法使得小波变换在处理非平稳信号、局部特征分析和时频定位方面具有独特优势。
基本概念：母小波函数（Mother Wavelet）是一个基础的波形模板，通常是局部化的函数，有限制地在时间或频率域中振荡。母小波函数具有的重要性质：
- 通常是在有限时间窗口定义，使得它只在有限时间范围内起作用；
- 平均值为零，保证小波变换平移不变性；
- 通常被归一化，确保小波变换能量守恒；
- 频率特性决定在频率空间的响应。
小波基函数是通过缩放（尺度变换）和平移（时间移动）母小波函数得到的。具体而言，通过尺度参数scale和平移参数shift对母小波函数进行调整，形成不同尺度和时间位置的小波基函数。下图为高斯型的母小波函数示例（上），以及根据不同的尺度和平移参数计算绘制的小波基函数（下）。
公式：对于给定信号 x(t)，连续小波变换将信号与平移和尺度变换后的小波基函数进行内积运算：
其中，a表示尺度参数，b表示平移参数，ψ(t)是母小波函数， ψ∗(t)是 ψ(t)的复共轭。通过改变尺度 a和平移 b，可以在时间轴上不同的位置和尺度上分析信号。较小的尺度可以提供更高的频率分辨率，较大的尺度可以提供更高的时间分辨率。通过对所有尺度和平移下得到的小波系数 Wx(a,b)进行逆变换，可以重构原始信号 x(t))。
适用范围：适合于捕捉信号的瞬态特性和频率成分，常用于事件相关分析和时频分析。但是小波变换的有效性和应用效果很大程度上取决于选择的母小波函数。母小波函数的选择直接影响了小波基函数的形状、频率特性以及对信号的适应能力。FieldTrip工具箱通常使用的母小波函数主要是基于Morlet小波。Morlet小波是一种常用的复数值小波函数，具有良好的频率和时间分辨率，在时域上为高斯形状，在频域上为固定宽度的带通滤波器。这种小波函数常用于时间-频率分析，尤其是在处理连续时间信号时，可以有效地捕捉到信号的瞬态特性和频率成分。
03
希尔伯特变换
基本原理希尔伯特变换 (Hilbert Transform, HHT)是一种信号处理技术，主要用于分析信号的幅度和相位信息。核心思想是通过对信号进行解析，提取出信号的解析信号（analytic signal），进而分析信号的瞬态特性、幅度包络和相位信息。下图为幅度包络和相位信息示意图：
公式解析信号：对于一个实数值信号 x(t)，其解析信号可以表示为：z(t)=x(t)+iH[x(t)]H[x(t)]是 x(t)的希尔伯特变换。解析信号 z(t)是一个复数值函数，它包含了原始信号的幅度和相位信息。希尔伯特变换：对于信号 x(t)，其希尔伯特变换 H[x(t)]可以通过傅里叶变换来示：H[x(t)]=1πP.V.∫ dτP.V.表示柯西主值积分，确保积分在奇点附近正确定义。
适用范围
希尔伯特变换适用于时域上的瞬态分析和相位特性的研究。
频域分析：功率谱密度
功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）表示信号功率在频率上的分布，如下图灰线所示。PSD提供了一个信号在每单位频率上的功率，是衡量信号能量分布的重要工具。通过上述方法将时域信号转换为频域信号后得到不同频率的幅值计算平方后得到。
在电生理数据分析主要应用为以下几点：(1) 频率特性分析：通过分析电生理信号的PSD，可以识别信号的主要频率成分和频带。不同的频带与大脑的不同生理状态和功能相关。(2) 功率分布和能量分析：PSD提供了信号在不同频率上的功率分布，可以用于计算信号在特定频带内的能量。通过比较不同时间段或不同实验条件下的PSD，可以分析信号的变化。分析PSD变化时，可以通过减去背景噪声（1/f）来进行基线标准化，以便更准确比较不同条件下的变化。(3) 信号的噪声分析和滤波设计：通过PSD可以识别信号中的噪声成分和频率范围，从而设计合适的滤波器进行噪声去除。例如，前文中提到的50Hz电磁噪音去除。另外，PSD可以用于验证滤波器的设计效果，通过比较滤波前后的PSD，可以评估滤波器的性能。(4) 事件相关电位分析：在事件相关电位（ERP）分析中，可以通过PSD分析诱发电位的频率特性和功率变化，研究大脑对特定刺激的反应。
时频分析
时频分析（Time-Frequency analysis）将信号分成小段，每段称为一个窗口或时间窗。每个窗口内的信号在频域上进行傅里叶变换或其它频谱估计方法，得到该时间窗内信号的频谱信息。通过将信号的频谱信息与时间对应起来，可以生成时频图谱或时频分布图，如下图所示，显示信号在时间和频率上的能量分布。常见的时频分析方法包括短时傅里叶变换（STFT）、小波变换、superlet等。superlet优点是能够在高频率分辨率的基础上提高时间分辨率，如下图所示。
LFP有效信息提取的其他方法
01
电流源密度通过计算电位变化（LFP）的空间二阶导数以得到CSD，是一种空间微分技术，用于估计在脑组织中的电流源（source）和汇（sink）分布。电流源密度(Current Source Density, CSD) 提供了对电流源和汇的微观视角，利用高密度记录探针监测LFP，可以精确确定最大CSD，从而确定电流汇（或源）的确切位置。帮助理解神经信号的起源和传播路径。
通过测量的电压差异和组织电导率（与电阻率成反比），使用欧姆定律计算两个记录位置之间的电流流动，即电流源密度。公式如下，CSD(x) 表示细胞外电位 Ve对位置 x的二阶空间导数。其中σ 表示组织的电导率，在脑组织中，电导率通常为0.15至0.35 Ω m。
CSD的优点在于能够去除LFP的体积传导干扰，从而更准确地反映电流源和汇的位置和强度。另外计算不需要选择参考电极，这避免了由于参考电极选择带来的偏差。缺点在于分析的是局部信息。
02
经验模态分解
经验模态分解 (Empirical Mode Decomposition, EMD)是一种自适应的信号分解方法，用于将复杂信号分解成若干内涵模态分量（Intrinsic Mode Functions, IMFs）。最显著的特点是克服了基函数无自适应性问题，对于一段未知信号，可以直接开始分解。EMD的提出人黄锷认为，任何信号都可以拆分成若干个内涵模态分量之和。而内涵模态分量有两个约束条件：
(1) 在整个数据范围内，零交叉点数与极值点数相差不超过1；
(2) 上下包络线对于时间轴局部对称。
⭐️ EMD 的步骤包括：
- 标识所有极值点。
- 通过极值点插值构建上下包络。
- 计算上下包络的平均值。
- 从原始信号中减去平均值，得到一个 IMF。
- 重复上述步骤，直至剩余信号为单调信号或不能继续分解。
参考文献:
1.Alain Destexhe, Claude Bédard. Local Field Potentials (LFP). Encyclopedia of Computational Neuroscience, 2015. ISBN : 978-1-4614-6674-1
2.Buzsáki G, Draguhn A. Neuronal oscillations in cortical networks. Science. 2004 Jun 25;304(5679):1926-9. doi: 10.1126/science.1099745. PMID: 15218136.
3.Donoghue, T., Haller, M., Peterson, E.J. et al. Parameterizing neural power spectra into periodic and aperiodic components. Nat Neurosci 23, 1655–1665 (2020).
4.Lundqvist M, Rose J, Herman P, Brincat SL, Buschman TJ, Miller EK. Gamma and Beta Bursts Underlie Working Memory. Neuron. 2016 Apr 6;90(1):152-164. doi: 10.1016/j.neuron.2016.02.028. Epub 2016 Mar 17. PMID: 26996084; PMCID: PMC5220584.
5.Tenke CE, Kayser J. Generator localization by current source density (CSD): implications of volume conduction and field closure at intracranial and scalp resolutions. Clin Neurophysiol. 2012 Dec;123(12):2328-45. doi: 10.1016/j.clinph.2012.06.005. Epub 2012 Jul 15. PMID: 22796039; PMCID: PMC3498576.
6.Einevoll GT, Kayser C, Logothetis NK, Panzeri S. Modelling and analysis of local field potentials for studying the function of cortical circuits. Nat Rev Neurosci. 2013 Nov;14(11):770-85. doi: 10.1038/nrn3599. PMID: 24135696.
7.Su H, Li H, Chen Z, Wen Z. An approach using ensemble empirical mode decomposition to remove noise from prototypical observations on dam safety. Springerplus. 2016 May 17;5:650. doi: 10.1186/s40064-016-2304-4. PMID: 27330916; PMCID: PMC4870484.
8. Moca VV, Bârzan H, Nagy-Dăbâcan A, Mureșan RC. Time-frequency super-resolution with superlets. Nat Commun. 2021 Jan 12;12(1):337. doi: 10.1038/s41467-020-20539-9. PMID: 33436585; PMCID: PMC7803992.
本文作者：王倩芸｜复旦大学 邮箱：abelor@163.com
发表回复